Imagine que duas pessoas precisam escolher ao mesmo tempo, sem conhecer a escolha da outra. A melhor decisão de cada uma depende da decisão adversária. Essa é a pergunta central da teoria dos jogos: como raciocinar quando o resultado de uma escolha depende também das escolhas de outros?
John von Neumann deu um passo decisivo nessa investigação. Em um artigo de 1928, demonstrou o teorema minimax para jogos finitos de duas pessoas com interesses exatamente opostos. Mais tarde, com o economista Oskar Morgenstern, desenvolveu uma teoria matemática da interação estratégica em Theory of Games and Economic Behavior, publicado em 1944. O livro é uma obra dos dois autores; a prova de 1928 é de von Neumann.
O que é um jogo nessa teoria?
“Jogo” aqui não significa apenas passatempo. É um modelo com participantes, escolhas possíveis e resultados associados a cada combinação de escolhas. Uma empresa que define um preço considerando a reação de concorrentes está diante de uma interação estratégica. O modelo obriga a perguntar quem decide, o que cada pessoa sabe no momento da decisão e o que cada uma ganha ou perde em cada resultado.
Para entender a contribuição de von Neumann, vale começar com um caso especialmente claro: duas pessoas e um jogo de soma zero. O que uma ganha, a outra perde na mesma medida. Esse recorte torna possível estudar, com precisão, como cada participante pode se proteger contra a melhor resposta do adversário. Ele não descreve todas as situações da vida econômica ou social.
Um exemplo: cara ou coroa, sem ver a outra mão
Suponha que Ana e Bruno mostrem, simultaneamente, uma face de moeda. Ana ganha um ponto se as faces forem iguais; Bruno ganha um ponto se forem diferentes. Para simplificar, cada vitória vale +1 para quem vence e −1 para quem perde. A soma dos resultados é sempre zero.
| Escolha de Ana | Bruno: cara | Bruno: coroa |
|---|---|---|
| Ana: cara | Ana +1 | Ana −1 |
| Ana: coroa | Ana −1 | Ana +1 |
Se Ana sempre escolher cara, Bruno poderá escolher coroa e vencer todas as rodadas. Se ela alternar de maneira previsível, a sequência também poderá ser explorada. Escolher uma única ação fixa é uma estratégia pura; sortear entre ações segundo probabilidades é uma estratégia mista.
Nesse exemplo simétrico, Ana se protege escolhendo cara e coroa com probabilidade de 50% para cada uma. Bruno faz o mesmo. Nenhum dos dois consegue melhorar seu resultado esperado apenas mudando sua escolha, sabendo como o outro está jogando. O valor esperado do jogo, para Ana, é zero. Isso não quer dizer que cada rodada termine empatada: alguém vence cada rodada. Quer dizer que, sob essas estratégias, não há vantagem esperada para um lado.
O que diz o teorema minimax?
A intuição é esta: Ana procura a estratégia que lhe garante o melhor resultado possível mesmo se Bruno responder da maneira mais desfavorável. Bruno procura limitar ao máximo o ganho de Ana. Em jogos finitos de duas pessoas e soma zero, o teorema de von Neumann mostra que, quando se permitem estratégias mistas, esses dois cálculos chegam ao mesmo valor. Há uma estratégia ótima para cada lado em termos de resultado esperado.
O ponto mais surpreendente é que a solução pode exigir aleatoriedade. Misturar escolhas não é agir sem pensar; é impedir que uma regra fixa seja explorada. No jogo das moedas, a mistura ótima é 50% para cada face por causa da simetria. Em outros jogos, as probabilidades ótimas podem ser diferentes.
O teorema também tem limites claros. Ele não promete vitória em cada partida, não diz que as pessoas conhecem todas as consequências reais de suas decisões e não transforma qualquer conflito em soma zero. Seu resultado matemático depende da estrutura do jogo estudado.
Por que o livro com Morgenstern foi importante?
Von Neumann e Morgenstern apresentaram em 1944 um programa muito mais amplo: tratar matematicamente situações em que várias pessoas ajustam suas escolhas às dos outros. O livro deu atenção a problemas econômicos, à representação de preferências e a formas de analisar jogos com mais participantes. A colaboração entre o matemático e o economista foi parte essencial dessa expansão.
Por isso, é útil separar duas afirmações. Von Neumann demonstrou o teorema minimax em 1928. Von Neumann e Morgenstern assinaram a obra de 1944 que consolidou a teoria dos jogos como campo de pesquisa. A teoria cresceu depois deles e passou a tratar também de situações em que os interesses não são perfeitamente opostos — por exemplo, negociações em que os dois lados podem ganhar. O minimax não é uma resposta universal para esses casos.
Como levar a ideia para além do exemplo
A lição mais durável é mudar a pergunta. Em vez de perguntar apenas “qual escolha parece melhor para mim?”, pergunte “o que a outra pessoa pode fazer quando eu escolher isso?”. Às vezes, uma ação aparentemente forte perde valor justamente porque é fácil de antecipar. Outras vezes, há espaço para cooperação, e o modelo de soma zero deixa de servir.
Comece pelo artigo de von Neumann de 1928 para localizar a origem do minimax e consulte a edição de Theory of Games and Economic Behavior, de von Neumann e Morgenstern, para situar a ampliação do projeto. A contribuição deles não foi oferecer um truque para vencer qualquer disputa, mas uma linguagem precisa para estudar decisões interdependentes.